“Los límites de mi lenguaje significan los límites de mi mundo” (Wittgenstein, Tractatus 6.421)
“Aquello que se expresa en el lenguaje no podemos expresarlo por el lenguaje” (Wittgenstein, Tractatus 4.121)
“Así pues el límite solo podrá ser trazado en el lenguaje, y lo que reside más allá del límite será simplemente absurdo” (Wittgenstein, Prólogo del Tractatus)
La Tesis de Church-Turing
Según la llamada “tesis de Church-Turing”, los límites de la computabilidad, es decir, de lo que es computable, se reducen a lo que es computable por una máquina de Turing o por funciones recursivas.
Según la tesis de Church-Turing, el concepto intuitivo de computación puede ser implementado mediante una máquina de Turing o mediante funciones recursivas. Ambos enfoques (funcional y operativo, respectivamente) delimitan el máximo poder computacional posible conocido, y son equivalentes:
Toda función recursiva es computable por una máquina de Turing.
Todo proceso computacional realizado por una máquina de Turing se puede expresar mediante una función recursiva.
La Tesis de MENTAL
En MENTAL se generaliza la tesis de Church-Turing, en el sentido de que hablamos de los límites de lo expresable en general, y no solo de lo computable. Es la “tesis de MENTAL”:
Sólo es expresable aquello que es expresable por el lenguaje MENTAL
La tesis de MENTAL generaliza la tesis de Church-Turing, pues el lenguaje es operativo y descriptivo:
Con el aspecto operativo, podemos expresar lo computable, es decir, lo construible mediante una expresión finita, que produzca como resultado una expresión finita en un tiempo finito.
Con el aspecto descriptivo, podemos expresar lo finito y lo infinito mediante una expresión finita que represente a varias expresiones.
MENTAL supone un nivel de abstracción superior a la máquina de Turing y a las funciones computables (recursivas), pues se puede especificar tanto una máquina de Turing como las funciones recursivas del cálculo lambda de Church, lo que supone una unificación de la informática y la matemática en el aspecto computacional, es decir, unifica el concepto de algoritmo y de función.
MENTAL aclara la naturaleza profunda de la computación, de lo operativo. Y, al mismo tiempo, aclara la naturaleza de lo descriptivo. Ambos son los dos aspectos de las primitivas semánticas universales.
La tesis de MENTAL se basa en un conjunto de principios, que son las propias primitivas del lenguaje, que establecen los grados de libertad. Las expresiones del lenguaje son manifestaciones concretas de esos grados de libertad.
Lo expresable y los modos de conciencia
Si una entidad se puede construir mediante una expresión, entonces la entidad está asociada al modo de conciencia del hemisferio izquierdo del cerebro. Por ejemplo, los números naturales, los enteros y los racionales, los conjuntos finitos, etc.
Si la entidad no se puede construir, solo describir (porque, por ejemplo, implica el infinito de alguna forma), entonces la entidad pertenece al modo de conciencia del hemisferio derecho del cerebro. Por ejemplo, los números irracionales, los conjuntos infinitos, etc.
En definitiva, lo expresable es lo que se ajusta a la semántica-sintaxis de MENTAL. Las primitivas semánticas universales son inexpresables, pues pertenecen al nivel mental interno y profundo. Solo son expresables sus manifestaciones externas o superficiales en forma de expresiones concretas (operativas o descriptivas).
Los límites de MENTAL
¿Qué hay más allá del lenguaje, de lo expresable? Lo místico, como afirmó Wittgenstein, es decir, lo inefable, lo indiferenciable, lo que no se puede expresar, lo absoluto:
“El sentimiento del mundo como un todo limitado es lo místico” (Tractatus 6.45).
“Lo inexpresable, ciertamente, existe. Se muestra, es lo místico” (Tractatus 6.522).
“De lo que no se puede hablar hay que callar” (Tractatus 7).
Pero MENTAL nos permite intuir lo inexpresable, pues la percepción de los arquetipos de la conciencia nos sitúan en la frontera entre lo expresable y lo inexpresable, entre el misticismo y el cientificismo, en una conciencia trascendente, que nos aproxima a la frontera del absoluto.
Por lo tanto, MENTAL tiene límites intrínsecos, un límite inferior, pero no tiene límites extrínsecos. No hay límite superior, pues la naturaleza fractal del lenguaje (su capacidad combinatoria) permite la existencia de un número ilimitado de niveles.
Consistencia y completud
Todo sistema axiomático formal debe tener dos características: la consistencia y la completitud.
Un sistema consistente es un sistema en el que no es posible llegar a una contradicción, es decir, que se pueda llegar a una expresión que sea, a la vez, verdadera y falsa.
Un sistema es completo si toda expresión matemática que esté relacionado con los axiomas se puede afirmar su verdad o falsedad.
Estas dos propiedades no tienen sentido en MENTAL por dos razones:
Porque MENTAL no es un sistema axiomático formal. Es un sistema axiomático semántico. Los axiomas son conceptos primarios que son inexpresables. Solo son expresables sus manifestaciones particulares: las expresiones.
Porque no tienen sentido los conceptos de verdad y falsedad. Las expresiones no son ni verdaderas ni falsas. Simplemente se construyen, y al construirlas tienen existencia en el espacio abstracto.
Lo que sí tiene sentido plantearse es si el conjunto de primitivas semánticas propuestas son suficientes a efectos de expresividad. Esto no es posible demostrarlo formalmente, como tampoco es posible en el caso de la tesis de Church-Turing, pero las numerosos ejemplo de aplicación del lenguaje a dominios muy diferentes, así parece confirmarlo, de ahí la tesis propuesta. De todas maneras, es perfectamente posible establecer otros conjuntos alternativos de primitivas semánticas, aunque creemos que las seleccionadas constituyen una propuesta muy adecuada.
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